Long thread at [Archive.is] Kristian Köhntopp on Twitter: “Tage im Lockdown. Heute, Diskussion mit der Frau (die das gerade dem Kind erklärt) über Brüche vs irrationale Zahlen (also keine Brüche). Wir enden bei Zahlentheorie, …”
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Tage im Lockdown. Heute, Diskussion mit der Frau (die das gerade dem Kind erklärt) über Brüche vs irrationale Zahlen (also keine Brüche).
Wir enden bei Zahlentheorie, …
… und Mengenlehre. Wir machen gerade Bruchrechnung, also ℚ, und ich hatte versucht zu erklären, daß ℚ[0,1[, ℚ und ℤ nur Cosplay von ℕ sind.
Richtig ätzend ist nur ℝ, oder genauer ℝ\ℚ, also 𝕀.
Das Ergebnis war eine Tour von Zahlentheorie (“Hier ist die leere Menge, wir machen uns ℕ = {}, {{}}, {{}, {{}}}, … durch Generierung unterscheidbarer Elemente und Bestimmung der Mächtigkeit, dann erfinden wir die Addition, dann bekommen wir …… kostenlos Assziativität, Kommutativität, dann erfinden wir Kettenadditionen und Multiplikation und bekommen Distributivität.
Dann erfinden wir Umkehroperationen und weil wir Algebren wollen, muß ℕ zu ℤ werden. Ist das schlimm? Nein, wir können ℕ auf ℤ abbilden.
Ist das schlimm? Nein, es ist eine Bijektion, also sind es dieselbe Menge, ℤ ist ein Cosplay von ℕ.
Dasselbe kriegen wir mit der Umkehrung der Multiplikation, der Division, und den Brüchen, und ℚ und de.wikipedia.org/wiki/Cantors_e…
ℚ ist also auch ein Cosplay von ℕ.
So weit war alles einfach erklärbar, auch wenn das bei mir schon 30 Jahre her ist. Aber dann kommen wir darauf, daß ℚ[0,1[ und ℚ gleich mächtig sind, und das wird zunächst mal intuitiv abgelehnt.Offen sind noch 𐡀-Null mächtiger als 𐡀-Eins, und daß es mehr irrationale als rationale Zahlen gibt, und de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_….
Und ich kann diese Beweise nicht mehr aus dem Stand…
Jetzt habe ich die Aufgabe, das als verständliche Erklärung vorzubereiten.
Eigentlich ist das alles total schön, weil die ganze Mathematik aus der leeren Menge, und dem Willen eine Algebra zu haben (also weiter rechnen zu können) zu folgern ist.
Aber manchmal ist Geekhaushalt auch anstrengend…
–jeroen
A few years back, coincidentally and funnily shortly after 
The Wiert Corner - irregular stream of stuff 